Hermitian矩阵

复共轭对称矩阵

$R=R^H$

置换矩阵

一个正方矩阵称为置换矩阵(permutation matrix)，若它的每一行和每一列有一个且仅有一个非零元素1。

$\begin{array}{l} P_{m\times n}^T=P_{n\times m}\\ P^TP=PP^T=I\\ P^T=P^{-1} \end{array}$

置换矩阵是正交矩阵。

互换矩阵

$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & & &1 \\ & & 1 \\ & \cdot \cdot & \\ 1 & & & 0 \end{array}\right]$

左乘：矩阵的行顺序反转
右乘：矩阵的列顺序反转

正交矩阵和酉矩阵

U非奇异且，$U^H=U^{-1}$
$UU^H=U^HU=I$
U的行列向量组成标准正交组

酉不变性

=
||Ax||^2 =||x||^2 $cos\theta=\frac{<Ax,Ay>}{||Ax||||Ay||}=\frac{<x,y>}{||x|| ||y||}$
三角矩阵
上三角
下三角

相似矩阵

S为非奇异矩阵

$B=S^{-1}AS$

特征值相同
特征向量存在线性变换关系

$det(B)=det(A) tr(B)=tr(A)$

Vandermonde矩阵

$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right] \quad \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right]$

Fourier 矩阵

Fourier矩阵是一种特殊结构的Vandermonde

$\boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & w & \cdots & w^{N-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & w^{N-1} & \cdots & w^{(N-1)(N-1)} \end{array}\right],$

Hadamard矩阵

所有元素取1，-1，且

$H_nH_n^T=H_n^TH_n=nI$

矩阵维度只能是2的倍数

Toeplitz矩阵

任意一条对角线元素取相同值

$A= \begin{bmatrix} a_0&a_{-1}&a_{-2}&...&a_{-n}\\ a_1&a_0&a_{-1}&...&a_{-n+1}\\ a_2&a_1&a_0&...&...\\ ...&...&...&...&...\\ a_n&a_{n-1}&...&a_1&a_0 \end{bmatrix} =[a_{i-j}]^n_{i,j=0}$

若元素满足复共轭关系

$a_{-i}=a_i^*$

则称为Hermitian Toeplitz 矩阵

Hankle矩阵

$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n+1} \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n} & a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2 n} \end{array}\right]$