Maxwell’s Theory

maxwell’s Equations

微分形式麦克斯韦方程组

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{D}+\overrightarrow{J},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0,\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}=\rho \end{array}$$

• 1为法拉第定律或法拉第磁感应定律。
• 2为安培定律或广义安培电路定律式
• 3为电场的库仑定律或高斯定律。
• 4为高斯定律或磁场的高斯定律。

物质本构方程

$$\overline{D}={ϵ}_0\overline{E}$$$$\overline{B}={\mu }_0\overline{H}$$

其中

$${ϵ}_0=8.85\times {10}^{-12}F/m$$$${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}H/m$$

Vector Analysis

向量运算重要公式

$$\overline{C}\cdot (\overline{A}\times \overline{B})=\overline{A}\cdot (\overline{B}\times \overline{C})=\overline{B}\cdot (\overline{C}\times \overline{A})$$$$\overline{C}\times (\overline{A}\times \overline{B})=\overline{A}(\overline{C}\cdot \overline{B})-(\overline{C}\cdot \overline{A})\overline{B}$$

$\mathrm{\nabla }$:del Operatoe(del 算符)

定义

$$\mathrm{\nabla }=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$$

重要公式

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\overline{E}\times \overline{H})=\overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})$$$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{A})=0$$$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=0$$$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E})-{\mathrm{\nabla }}^2\overline{E}$$

Laplaceian Operator（拉普拉斯算符）

$${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$

Gradient 梯度

$$\mathrm{\nabla }\varphi =\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}\varphi +\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}\varphi +\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}\varphi$$

Divergence 散度

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}=\frac{\partial }{\partial x}{D}_x+\frac{\partial }{\partial y}{D}_y+\frac{\partial }{\partial z}{D}_z$$

通量是单位时间通过某个曲面的量，散度是通量的强度和流量

Curl 旋度

$$\mathrm{\nabla }\times \overline{D}=\hat{x}(\frac{\partial }{\partial y}{H}_z-\frac{\partial }{\partial z}{H}_y)+\hat{y}(\frac{\partial }{\partial z}{H}_x-\frac{\partial }{\partial x}{H}_z)+\hat{z}(\frac{\partial }{\partial x}{H}_y-\frac{\partial }{\partial y}{H}_x)$$

1.2电磁波

Wave Equation and Wave Solution(波动方程和波动解)

微分形式的麦克斯韦方程对空间中的每一点都是有效的。为了解出这个方程，我们将从研究在无源区域的麦克斯韦方程组的解开始。

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{H},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}={ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{H},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=0,\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{H}=0\end{array}$$

两边同取旋度

$$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{E}$$

亥姆霍兹方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\overline{E}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{E}=0$$

满足该方程的解为波动解

---

对于该偏微分方程，最简单的解为电场方向在x方向，传播方向只延z方向的波

$$\overline{E}=\hat{x}{E}_x(z,t)$$$$\overline{E}=\hat{x}{E}_{0}cos(kz-wt)$$

其中

$$k^2=w^2{\mu }_0{ϵ}_0$$

该关系称为色散关系

dispersion relation:色散关系

色散关系提供了空间频率k和时间频率w之间的重要联系

在研究时空变化量，如E(z,t)时，有两种观点。时间的观点是研究不同时间在空间中固定点上的变化。空间视角是研究固定时间的空间变化。

重要关系

$$f=\frac{w}{2\pi }=\frac{k}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}=kc$$$$c=\frac{w}{k}$$

对应磁场解

$$\overline{H}=\hat{y}{E}_0\frac{1}{{\eta }_0}cos(kz-wt)$$

其中
$\frac{1}{{\eta }_0}=\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}$,$\eta$为自由空间阻抗

Unit for Spatial Frequence k

$$k=\frac{2\pi }{\lambda }$$

k的单位定义为$K_0$

$$K_0=2\pi rad/m$$

电磁波谱

相速度

$$v_p=\frac{dz}{dt}=\frac{w}{k}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_o{ϵ}_0}}$$

相速度可以理解为图中A点移动的速度，相位的传播，在真空中等于光速

相位延迟

$$A_p=\frac{k}{w}=\sqrt{{\mu }_o{ϵ}_0}$$

Polarization极化

对于波动方程解

$$\overline{E}(z,t)=\hat{x}{E}_x+\hat{y}{E}_y$$$$=\hat{x}cos(kz-wt)+\hat{y}Acos(kz-wt+\varphi )$$

从时间域看

• 线性极化

$\varphi =2m\pi$,$\varphi =(2m+1)\pi$

$$\overline{E}(z,t)=\hat{x}cos(wt)\pm \hat{y}Acos(wt)$$

• 圆极化
  $\varphi =\pi /2,A=1$$$\overline{E}(z,t)=\hat{x}cos(wt)+\hat{y}sin(wt)$$
• 椭圆极化
  $\varphi =\pi /2$$$\overline{E}(z,t)=\hat{x}cos(wt)+\hat{y}Asin(wt)$$

  $\varphi =+\pi /2$右旋，
  $\varphi =-\pi /2$左旋

$0<\varphi <\pi$右旋，
$\pi <\varphi =2\pi$左旋

空间角度看极化

Herztian Waves 赫兹天线

一个赫兹偶极子是由两个相对的电荷($\pm q$)组成，它们之间隔着无穷小的距离。偶极矩p= ql有一个角频率w，使得每个点电荷在2$\pi$/w的周期内从+q变化到-q。p被定义为$l\to 0\mathrm{与}q\to \mathrm{无}\mathrm{穷}$的乘积，使p为常数。假设两个电荷位于z=±l/2处。赫兹解出了所有的电磁场用势函数称为赫兹势$\mathrm{\Pi }$

$$\mathrm{\Pi }=\frac{ql}{4\pi r}cos(kr-wt)$$

• $kr\gg 1$$$\overline{E}=-\hat{\theta }\frac{k^{2}ql}{4\pi {ϵ}_{0}r}sin\theta cos(kr-wt)$$$$\overline{H}=-\hat{\varphi }\frac{wkql}{4\pi {ϵ}_{0}r}sin\theta cos(kr-wt)$$
• $w=0$$$\overline{E}=\frac{ql}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}(\hat{\theta }sin\theta +\hat{r}2cos\theta )$$$$\overline{H}=0$$
• 在偶极子附近$$\overline{H}=\hat{\varphi }\frac{wql}{4\pi r^2}sin\theta$$

Constitutive Relations 物质本构关系

Isotropic Media各向同性介质

$$\overline{D}=ϵ\overline{E}$$$$\overline{B}=\mu \overline{H}$$

Anisotropic Media各向异性介质

$$\overline{D}=\overline{ϵ}\overline{E}$$$$\overline{B}=\overline{\mu }\overline{H}$$

Bianisotropic Media双各向异性介质

$$\overline{D}=\overline{ϵ}\overline{E}+\overline{\xi }\overline{H}$$$$\overline{B}=\overline{\zeta }\overline{E}+\overline{\mu }\overline{H}$$

Biisotropic Media手性介质

$$\overline{D}=ϵ\overline{E}+\tau \overline{H}$$$$\overline{B}=\tau \overline{E}+\mu \overline{H}$$

Boundary Condition边界条件

$$\hat{n}\cdot (\overline{E_1}-\overline{E_2})=0$$$$\hat{n}\cdot (\overline{H_1}-\overline{H_2})={\overline{J}}_s$$$$\hat{n}\cdot (\overline{B_1}-\overline{B_2})=0$$$$\hat{n}\cdot (\overline{D_1}-\overline{D_2})={\rho }_s$$