信号的分类

随机信号和确定信号
连续和离散
周期
奇偶
- 所有信号可以被分解为奇偶信号
功率和能量

能量信号（能量有限信号）：
如果信号x(t)满足: 0<E <$\infin$,而P = 0。

功率信号（功率有限信号）:
如果信号x(t)满足：0 < P <$\infin$, 而E=$\infin$。

周期信号一般属于功率信号，属于能量信号的非周期信号也称为脉冲信号

复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号

$x(t)=ce^{st} s=\sigma+jw T_0=\frac{2\pi}{|w_0|}$

正弦与复指数信号转换

$\cos wt=\frac{1}{2}(e^{jwt}+e^{-jwt})$ $\sin wt=\frac{1}{2j}(e^{jwt}-e^{-jwt})$ $A\cos(wt+\phi)=\frac{A}{2}e^{j\phi}e^{jwt}+\frac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-jwt}=ARe\{e^{j(wt+\phi)}\}$ $A\sin(wt+\phi)=Aim\{e^{j(wt+\phi)}\}$

离散时间复指数信号

$x[n]=e^{jwn}=\cos wn+\sin wn$

当$\frac{2\pi}{w}$为有理数数时为周期信号

单位冲击和单位阶跃函数

离散脉冲阶跃

单位脉冲

$\delta[n]= \begin{cases} 0& n \not= 0 \\ 1& n=0 \end{cases}$

采样特性

$\delta[n]x[n]=x[0]\delta[n]$ $x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]$

单位阶跃

$u[n]= \begin{cases} 0& n < 0 \\ 1& n>=0 \end{cases}$

单位脉冲和阶跃关系

$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$ $u[n]=\sum_{k=0}^{\infin}\delta[n-k]=\sum_{k=-\infin}^{n}\delta[k]$

矩形序列

$g_N[n]= \begin{cases} 0& 0<n < N-1 \\ 1& other \end{cases}$ $=u[n]-u[n-N]$

单位斜坡

$r[n]= \begin{cases} n& n >= 0 \\ 0& n<0 \end{cases}$ $=nu[n]$

单位脉冲串

$\delta_N[n]=\sum_{k=-\infin}^{\infin}\delta[n-kN]$

连续时间阶跃冲激

单位阶跃

$u(t)= \begin{cases} 0& t < 0 \\ 1& t>0 \end{cases}$

t=0处无定义

矩形脉冲

$g(t)=u(t)-u(t-t_0)$

符号函数sgn

$sgn(t)= \begin{cases} 1& t > 0 \\ -1& t<0 \end{cases}$ $=u(t)-u(-t)$ $=2u(t)-1$

单位冲激信号

狄拉克定义

$\begin{cases} \int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t)dt=1\\ \delta(t)=0 & t=\not0 \end{cases}$ $\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$ $u(t)=\int_{-\infin}^{t}\delta(\tau)d\tau$

基本性质

抽样 $x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)$ $x(t)\delta(t-t_0)=x(0)\delta(t-t_0)$
筛选 $\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)\delta(t)=x(0)$ $\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)$
偶函数

冲激偶信号

冲激函数的微分称为冲激偶信号

$\int_{-\infin}^{+\infin}\delta'(t)dt=0$ $\int_{-\infin}^{+\infin}\delta'(t)x(t)dt=-x'(0)$

单位冲激串

$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}\delta(t-nT)$

Sa

$Sa(t)=\frac{\sin t}{t}$ $\int_{-\infin}^{\infin}Sa(t)dt=\pi$

信号的运算和变换

运算

相加
相乘
微分积分 $x(t)=u(t-1)-u(t-2)$ $\frac{dx(t)}{dt}=\delta(t-1)-\delta(t-2)$

对于任意函数可以用u(t)进行分段表示，然后利用积分的变换进行计算

自变量变换

平移，正左负右
反褶
尺度变化
抽取
$x_1=x[Nn]$

信号间隔不变，抽取部分信号
内插

在信号间插入0信号
$x_2[n]= \begin{cases} x[n/N]\\ 0 \end{cases}$

系统基本性质

连续系统可以用微分方程表示

离散系统可以用差分方程表示

线性

满足,离散同理

$ax_1(t)+bx_2(t)\to ay_1(t)+by_2(t)$

常见线性

$y(t)=x(t)$ $y(t)=tx(t)$ $y(t)=dx(t)/dt$ $y[t]=x[n+1]-x[n]$

常见非线性

$y(t)=x^2(t)$ $y(t)=e^{x(t)}$ $y(t)=2x(t)+3$

判断方法

直接利用定义
与x括号内参数无关，x(t)需要为一次且x(t)外无常数项

时变，时不变

$x[n]\to y[n]$ $x[n-n_0]\to y[n-n_0]$ $x(t)\to y(t)$ $x(t-t_0)\to y(t-t_0)$

判断方法

定义
t只在x括号内且为一次

$y=x(sin(t))$ $y_1(t)=x_1(sin(t))$ $x_2(t)=x_1(t-t_0)=x_1(sin(t-t_0))$ $y_2(t)=x_2(sin(t))=x_1(sin(sin(t)-t_0))$ $\not = y_1(t-t_0)=x_1(sin(t-t_0))$

记忆和无记忆

输入仅取决于当前输出为无机盐

输入取决于其他时间为记忆
比如累加器，延迟单元

因果

系统输出不取决于未来

非因果系统如

$y(t)=x(t+2)$

在图像处理中就会有非因果系统

通常把0时刻开始的信号称为因果信号

$x(t)=0 ,t<0$

可逆

不可逆

$y(t)=x^2(t)$

可逆

$y[n]=\sum x[k]$

稳定

输入有界则输出有界