离散时间信号频域分析

离散时间傅里叶级数

$$x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{w}_{0}n}=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk\frac{2\pi }{T_0}n}$$$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jk{w}_{0}n}$$

离散时间傅里叶级数不存在着收敛问题和吉布斯现象

离散傅里叶变换

$$X(e^{jw})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-jwn}$$$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{jw})e^{jwn}dw$$$$X(e^{jw})=|X(e^{jw})|e^{j\theta (w)}$$

离散时间傅里叶变换的收敛性与吉布斯现象

x[n]要求绝对可和并能量有限

$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x[n]|<\mathrm{\infty }$$$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x[n]{|}^2<\mathrm{\infty }$$

常见函数离散傅里叶变换

单位脉冲

$$\delta [n]\to 1$$

单边指数

$$x[n]=a^{n}u[n]\to \frac{1}{1-a{e}^{-jw}}$$

双边指数

$$x[n]=a^{|n|}\to \frac{1-a^2}{1-2a\cos w+a^2}$$

矩形脉冲

$$x[n]=\{\begin{array}{ll}1& |n|<N_1\\ 0& |n|>N_1\end{array}$$$$X(e^{jw})=\frac{\sin [(2N_1+1)w/2]}{\sin (w/2)}$$

冲激串

$$1\to 2\pi \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (w-2\pi k)$$

离散周期信号傅里叶变换

$$X(e^{jw})=2\pi \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\delta (w-2\pi k/N)$$

离散傅里叶变换性质

周期性

线性性质

时移性质

$$x[n-n_0]\to e^{-jw{n}_0}X(e^{jw})$$

频移性质

$$X(e^{j(w-w_0)})\to x(t)e^{j{w}_{0}n}$$

共轭

$$x^{\ast }(t)\to X^{\ast }(e^{-jw})$$

• x(t)为实值函数，X(jw)实部是偶函数，虚部是奇函数，幅度是偶函数，相位是奇函数
• x(t)为实值偶函数，则X(jw)也是实值偶函数
• x(t)为实值奇函数，则X(jw)也是纯虚奇函数
• 该性质也适用于傅里叶级数情况，

差分求和

$$x[n]-x[n-1]\to (1-e^{-jw})X(jw)$$$$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{n}x[m]\to \frac{1}{(1-e^{-jw})}X(e^{jw})\pi X(e^{j0})\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (w-2\pi k)$$

时域扩展

$$x_{(}k)=\{\begin{array}{ll}x[n/k]& n\mathrm{为}k\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{倍}\\ 0\end{array}$$$$x(k)[n]\to X(e^{jkw})$$

频域微分

$$j\frac{dX(e^{jw})}{dw}\to nx[n]$$

卷积性质

$$x[n]\ast h[n]\to X(e^{jw})H(e^{jw})$$

周期卷积

$$\sum _{r=<N>}x[r]h[n-r]\to N{a}_k{b}_k$$

调制性质

$$x[n]y[n]\to \frac{1}{2\pi }X(e^{jw})\ast Y(e^{jw})$$

当傅里叶级数存在时

$$x[n]y[n]\to a_k\ast b_k$$

帕斯瓦尔定理

$$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }|X(e^{jw}){|}^{2}dw$$

离散傅里叶变换的对偶性

离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶
级数在数学形式上也是十分相似的，它们之间
也存在着一种对偶关系。

$$x[n]\to a[k]$$$$a[n]\to \frac{1}{N}x[-k]$$

离散时间LTI系统频率响应

离散LTI系统的频率响应另一种定义可表示为

$$H(e^{jw})=\frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})}$$