离散时间傅里叶级数

$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jkw_0n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{T_0}n}$ $a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jkw_0n}$

离散时间傅里叶级数不存在着收敛问题和吉布斯现象

离散傅里叶变换

$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-jwn}$ $x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$ $X(e^{jw})=|X(e^{jw})|e^{j\theta(w)}$

离散时间傅里叶变换的收敛性与吉布斯现象

x[n]要求绝对可和并能量有限

$\sum_{n=-\infty}^\infty |x[n]|<\infty$ $\sum_{n=-\infty}^\infty |x[n]|^2<\infty$

常见函数离散傅里叶变换

单位脉冲

$\delta[n]\to 1$

单边指数

$x[n]=a^nu[n] \to\frac{1}{1-ae^{-jw}}$

双边指数

$x[n]=a^{|n|} \to\frac{1-a^2}{1-2a\cos w+a^2}$

矩形脉冲

$x[n]= \begin{cases} 1&|n|<N_1\\ 0&|n|>N_1 \end{cases}$ $X(e^{jw})=\frac{\sin[(2N_1+1)w/2]}{\sin(w/2)}$

冲激串

$1 \to 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-2\pi k)$

离散周期信号傅里叶变换

$X(e^{jw})=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(w-2\pi k/N)$

离散傅里叶变换性质

周期性

线性性质

时移性质

$x[n-n_0]\to e^{-jwn_0}X(e^{jw})$

频移性质

$X(e^{j(w-w_0)})\to x(t)e^{jw_0n}$

共轭

$x^*(t)\to X^*(e^{-jw})$

x(t)为实值函数，X(jw)实部是偶函数，虚部是奇函数，幅度是偶函数，相位是奇函数
x(t)为实值偶函数，则X(jw)也是实值偶函数
x(t)为实值奇函数，则X(jw)也是纯虚奇函数
该性质也适用于傅里叶级数情况，

差分求和

$x[n]-x[n-1]\to (1-e^{-jw})X(jw)$ $\sum_{m=-\infty}^nx[m] \to \frac{1}{(1-e^{-jw})}X(e^{jw})\pi X(e^{j0})\sum_{m=-\infty}^\infty \delta(w-2\pi k)$

时域扩展

$x_(k)= \begin{cases} x[n/k]&n为k整数倍\\ 0 \end{cases}$ $x(k)[n]\to X(e^{jkw})$

频域微分

$j\frac{dX(e^{jw})}{dw}\to nx[n]$

卷积性质

$x[n]*h[n] \to X(e^{jw})H(e^{jw})$

周期卷积

$\sum_{r=<N>}x[r]h[n-r] \to Na_kb_k$

调制性质

$x[n]y[n] \to \frac{1}{2\pi}X(e^{jw})*Y(e^{jw})$

当傅里叶级数存在时

$x[n]y[n] \to a_k*b_k$

帕斯瓦尔定理

$\sum_{k=-\infty}^\infty |x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{jw})|^2dw$

离散傅里叶变换的对偶性

离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶
级数在数学形式上也是十分相似的，它们之间
也存在着一种对偶关系。

$x[n] \to a[k]$ $a[n] \to \frac{1}{N}x[-k]$

离散时间LTI系统频率响应

离散LTI系统的频率响应另一种定义可表示为

$H(e^{jw})=\frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})}$