连续时间采样定理

冲激串采样定理

$x_p(t)=x(t)p(t)$ $p(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)$

T为采样周期

$X_p(jw)=\frac{1}{2\pi}X(jw)*P(jw)$ $=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\infty X(j(w-kw_s))$

相当于将信号频域的图像左右平移

$x_r(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)\delta(t-nT)*h(t)$ $=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT)h(t-nT)$

$h(t)=T\frac{w_c}{\pi}Sa(w_ct)$

当$w_c$满足：$w_M<w_c<w_s-w_M$时，重建是精确的。

$x_r(t)=\sum_{n=-N}^N x(nT)T\frac{w_c}{\pi}Sa(w_c(t-nT))$

如果h(t)取矩形窗函数

冲激串抽样的数学模型在实际工程应用中是无法实
现的，其重要意义是在理论上建立采样定理。在实际工
程应用中，往往采用零阶保持的方法来获取采样信号。

被采用的信号若是正弦信号，在频谱混叠的情况下可以获得重建信号

$p[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty \delta[n-kN]$ $x_p[n]=x[n]p[n]$ $=\sum_{k=-\infty}^\infty x[kN] \delta[n-kN]$

$P(e^{jw})=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(w-kw_s)$ $X_p(e^{jw})=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(e^{j(w-kw_s)})$

设x[n]是某一带限信号，即在$w_M<|w|<\pi$时,$X(e^{jw})=0$。如果采样频
率$w_s>2w_M$，那么x[n] 就唯一地由其样
本x[kN]，所确定。

$x_s[n]=x[nN]=x_p[nN]$

$X_s(e^{jw})=X_p(e^{jw/N})$

$x_s[n]$的频谱将$X_p(e^{jw})$扩展了N 倍

$x[n]= \begin{cases} x_s(n/N)\\ 0 \end{cases}$ $X(e^{jw})=X_s(e^{jwN})$

$y(t)=x(t)\cdot c(t)$

正弦载波幅度调制的主要功能是实现频谱搬移功能。
DSB调制通常也称为抑制载波的正弦载波调制

$x_r=(y(t)\cos w_ct)*h(t)$ $=(x(t)\frac{\cos(2w_ct)+1}{2})*h(t)=\frac{1}{2}x(t)$

PAM是脉冲载波的幅度随调制信号变化的
一种调制方式：它是对调制信号的取样，即抽
取某一时间间隙内的调制信号的信息。脉冲调
制有两种基本形式：