拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
作用:不是所有的信号可以进行傅里叶变换,引入衰减因子$e^{-\sigma t}$,使$x(t)e^{-\sigma t}$的傅里叶变换收敛
其傅里叶反变换
令$s=\sigma+jw$
简写为
当x(t)满足傅里叶变换的条件,x(t)的拉普拉斯变换等价于傅里叶变换
拉普拉斯变换的收敛域
ROC:能让x(t)收敛的s范围
x(t)的时域特性与拉氏变换X(s)的收敛域ROC关系
- X (s)的ROC在S平面上由平行于jω轴的带状区域构成。
- 对有理拉氏变换来说,在ROC内不包含任何极点
- 如果 是时限的,并且绝对可积, 则
ROC是整个S平面 - 如果 是右边信号,
而且如果$Re{s}=\sigma_0$这条线位于
ROC 内,那么$Re{s}>\sigma_0$的
全部s值在ROC内。左边信号相反,双边信号为带状 - :如果 的拉氏变换 是有理的,则ROC的边界由
极点限定,或延伸到无穷远,且在ROC内不包含任何极点 - 如果 的拉氏变换 是有理的,若 是右边信
号,则其ROC 在s平面上位于最右边极点的右边;若 是左
边信号,则其ROC 在s平面上位于最左边极点的左边。
常见信号拉氏变换
- 阶跃信号
- 冲激信号
- 单边指数信号
- 双边指数信号
- 时域卷积
- 时域微分
- 频域微分
- 时域积分R+Re{s}
- 初值定理和终值定理
- 若t<0,x(t)=0并且在t=0时,不包含冲激或高阶奇异函数
周期信号与抽样信号的拉氏变换
周期信号
x1(t)为第一个周期内时间函数
抽样信号
拉氏反变换
- 长除法法
- 公式法
单边拉氏变换
- 时域微分
- 时域积分
- 卷积积分
系统复频域分析
因果性
一个因果LTI系统,其收敛域为右半平面;如果系
统是反因果的,收敛域为左半平面。 相反的结论不一
定都成立 。
稳定性
稳定系统的冲激响应应是绝对可积,表明稳定系统的频率响应存在。
稳定系统的ROC必包含虚轴(jw轴)
因果稳定系统
系统响应求解
已知某因果的 LTI 系统的微分方程:$y^{‘’}+3y^{‘}+2y=x(t),y(0^-)=3,y^{‘}(0^-)=-5$,求当
x(t)=2u(t)时系统的全响应、零输入响应、零状态响应。
S域原件模型
本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议。转载请注明来自 摸黑干活!
评论