拉普拉斯变换

作用:不是所有的信号可以进行傅里叶变换,引入衰减因子$e^{-\sigma t}$,使$x(t)e^{-\sigma t}$的傅里叶变换收敛

其傅里叶反变换

令$s=\sigma+jw$

简写为

当x(t)满足傅里叶变换的条件,x(t)的拉普拉斯变换等价于傅里叶变换

拉普拉斯变换的收敛域

ROC:能让x(t)收敛的s范围

x(t)的时域特性与拉氏变换X(s)的收敛域ROC关系

  • X (s)的ROC在S平面上由平行于jω轴的带状区域构成。
  • 对有理拉氏变换来说,在ROC内不包含任何极点
  • 如果 是时限的,并且绝对可积, 则
    ROC是整个S平面
  • 如果 是右边信号,
    而且如果$Re{s}=\sigma_0$这条线位于
    ROC 内,那么$Re{s}>\sigma_0$的
    全部s值在ROC内。左边信号相反,双边信号为带状
  • :如果 的拉氏变换 是有理的,则ROC的边界由
    极点限定,或延伸到无穷远,且在ROC内不包含任何极点
  • 如果 的拉氏变换 是有理的,若 是右边信
    号,则其ROC 在s平面上位于最右边极点的右边;若 是左
    边信号,则其ROC 在s平面上位于最左边极点的左边。

常见信号拉氏变换

  • 阶跃信号
  • 冲激信号
  • 单边指数信号
  • 双边指数信号
  • 三角信号
  • 幂函数
  • 指数三角信号

    双边拉氏变换性质

  • 线性性质
    • Roc=R1+R2
  • 时移性质ROC=R
  • 频移性质ROC=R+Re{s0}
  • 尺度变换ROC=aR
  • 共轭
  • 时域卷积
  • 时域微分
  • 频域微分
  • 时域积分R+Re{s}
  • 初值定理和终值定理
    • 若t<0,x(t)=0并且在t=0时,不包含冲激或高阶奇异函数

周期信号与抽样信号的拉氏变换

周期信号

x1(t)为第一个周期内时间函数

抽样信号

拉氏反变换

  • 长除法法
  • 公式法

单边拉氏变换

  • 时域微分
  • 时域积分
  • 卷积积分

系统复频域分析

因果性

一个因果LTI系统,其收敛域为右半平面;如果系
统是反因果的,收敛域为左半平面。 相反的结论不一
定都成立 。

稳定性

稳定系统的冲激响应应是绝对可积,表明稳定系统的频率响应存在。
稳定系统的ROC必包含虚轴(jw轴)

因果稳定系统

系统响应求解

已知某因果的 LTI 系统的微分方程:$y^{‘’}+3y^{‘}+2y=x(t),y(0^-)=3,y^{‘}(0^-)=-5$,求当
x(t)=2u(t)时系统的全响应、零输入响应、零状态响应。

S域原件模型