z变换

意义

傅里叶变换的推广

针对离散信号

双边z变换

选择合适的指数信号$r^{-n}$,使得，可以进行傅里叶变换

假设r使X(z)收敛

$$x[n]r^{-n}=F^{-1}\{X(re^{iw})\}$$ $$x[n]=r^{n}F^{-1}\{X(re^{iw})\}$$ $$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(re^{iw})(re^{jw})^ndw$$ $$令z=re^{jw}$$ $$\to x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_{2\pi} X(z)z^{n-1}dz$$ $$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$$

$\oint$围线积分，以原点为中心，逆时针的线积分

==z变换需要明确收敛域==

常见离散信号z变换

• 单边指数信号 $$x[n]=u[n]a^n$$ $$X(z)=\frac{z}{z-a} (|z|>|a|)$$ $$x[n]=-u[-n-1]a^n$$ $$X(z)=\frac{z}{z-a} (|z|<|a|)$$
• 双边信号 $$x[n]=b^{|n|}$$ $$X(z)=\frac{1}{1-bz^{-1}}-\frac{1}{1-b^{-1}z^{-1}} (|b|<|z|<|1/b|)$$

  只有b<1时收敛

当左边信号线性叠加右边信号，就会形成圆环，总共有三种情况

• 幂指数信号 $$x[n]=nu[n]a^n$$ $$X(z)=\frac{az}{(z-a)^2} (|z|>|a|)$$
• 三角信号 $$x[n]=cos[w_0n]u[n]$$ $$X(z)=\frac{1-z^{-1}[cosw_0]}{1-2z^{-1}[cosw_0]+z^{-2}} (|z|>1)$$ $$x[n]=sin[w_0n]u[n]$$ $$X(z)=\frac{1-z^{-1}[sinw_0]}{1-2z^{-1}[cosw_0]+z^{-2}} (|z|>1)$$ $$x[n]=r^ncos[w_0n]u[n]$$ $$X(z)=\frac{1-z^{-1}[rcosw_0]}{1-2z^{-1}[2rcosw_0]+r^2z^{-2}} (|z|>1)$$ $$x[n]=rsin[w_0n]u[n]$$ $$X(z)=\frac{1-z^{-1}[rsinw_0]}{1-2z^{-1}[2rcosw_0]+r^2z^{-2}} (|z|>1)$$

• 单位冲击 $$x[n]=\delta[n]$$ $$X(z)=1(0=<|z|<\infty)$$
• 单位阶跃 $$x[n]=u[n]$$ $$X(z)=\frac{z}{z-1}(|z|>1)$$ $$x[n]=-u[-n-1]$$ $$X(z)=\frac{z}{z-1}(|z|<1)$$

  z变换的收敛域

  信号绝对可和 $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|r^{-n}<\infty$$

z变换的收敛域都是以原点为圆心的环状

有限长序列

$$\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|r^{-n}<\infty$$

一定收敛，收敛域为$z=0,z=\infty$,外的整个z平面

• $n_1>0,0<|z|<=\infty$
• $n_2<0,0=<|z|<\infty$
• $n_1>0,n_2<0,0<|z|<\infty$

右边序列

当 n< n1,x[n]=0

收敛域为

$$R_{x^-}<z<\infty$$

左边序列

当 n> n2,x[n]=0

收敛域为

$$0<z<R_{x^+}$$

双边序列

当 n< n1,n>n2,x[n]=0

收敛域为

$$R_{x^-}<z<R_{x^+}$$

z变换的几何表示

$$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}$$

零极点

z变换的性质

• 线性性质
  • 收敛域至少为交集，可能出现0极点抵消，收敛域扩大 $$x[n]=u[n]a^n， y[n]=u[n-1]a^n$$ $$X(z)=\frac{z}{z-a} (|z|>|a|)$$ $$Y(z)=\frac{a}{z-a} (|z|>|a|)$$ $$X(z)-Y(z)=1 (0=<|z|<\infty)$$

• 时域位移

  $$x[n-m]\underrightarrow{z}z^{-m}X(z)$$

  应用：延时器

• 频域微分

  $$nx[n]\underrightarrow{z}-z\frac{d}{dz}X(z)$$
• 尺度变换 $$a^nx[n]\underrightarrow{z}X(\frac{z}{a})$$
• 时域扩展 $$x[n]_k= \begin{cases} x[n/k], n是k的整数倍\\0，, n不是k的整数倍 \end{cases}$$ $$sa x[n]_k\underrightarrow{z}X(z^k)（R_{k^-}^{1/k}<|z|<R_{k^+}^{1/k}）$$ 特殊情况，k=-1 $$（R_{k^-}<|1/z|<R_{k^+}）$$

• 时域卷积

  $$x[n]*y[n]\underrightarrow{z}X(z)Y(z)$$ $$（max\{R_{x^-},R_{y^-}\}<|z|<min\{R_{x^+},R_{y^+}\}）$$

• 共轭性质

  $$x^*[n]\underrightarrow{Z}X^*(z^*)$$
• 累加性质 $$\sum_{k=-\infty}^nx[k]\underrightarrow{Z}\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$$

• 初值性质

  $$x[0]=lim_{z\rightarrow\infty}X(z)$$

  x[n]为因果序列,|z|>Rx-

• 终值性质

  $$x[0]=lim_{z\rightarrow1}(z-1)X(z)$$

  x[n]为因果序列,|z|>=1,(z-1)X(Z)收敛

Z反变换

幂级数展开法

$$X(z)=x(0)z^0+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+……+x(n)z^{-n}$$

利用泰勒级数

部分分式展开

留数法

• |z|>a $$x[n]=\begin{cases} 0,n<n_0\\ \sum_m Res[X(z)z^{n-1}]_{z=p_m},n>=n_0 \end{cases}$$
• |z|<a $$x[n]=\begin{cases} -\sum_m Res[X(z)z^{n-1}]_{z=p_m},n<n_0\\ 0,n>=n_0\\ \end{cases}$$ 其中 $$Res[X(z)z^{n-1}]_{z=p_m}=\frac{1}{(L-1)!}[\frac{d^{L-1}}{dz^{L-1}}(z-p_m)^LX(z)z^{n-1}]_{z=p_m}$$

单边z变换

• 移位性质 $$x[n+m]u[n]\underrightarrow{UZ}z^m（X(z)-\sum_{k=0}^{m-1}x[k]z^{-k})$$

系统分析

• 因果性

一个因果 LTI系统其单位脉冲响应h[n]是对于n<0, h[n]=0，ROC包括无限远点

• 稳定性

一个稳定离散时间LTI系要求其单位脉冲响应h[n]
满足绝对可和的，ROC必须包含单位圆，一个LTI系统当且仅当它的系统函数H(z)的ROC
包括单位圆，|z|=1时，该系统就是稳定的。

• 因果稳定离散时间LTI系统

一个具有有理系统函数的因果LTI系统，当且仅
当H(z)的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点
其模均小于1时，系统就是稳定的。