不要尝试去理解量子力学！！！

量子力学原理

能量子

普朗克常数 $h=6.626\times 10^{-34}J\cdot s$

黑体辐射

斯特藩-玻尔兹曼定律

总辐出度与温度的四次方成正比

$M(T)=\sigma T^4$

韦恩位移定律

黑体辐射光谱的峰值频率与黑体温度成正比:

$v=CT$

波粒二象性

散射增强条件

$d\sin\theta=n\lambda$

测不准原理

动量测不准 $\Delta p\Delta x>=\hat{h}/2$
能量时间测不准 $\Delta E\Delta t>=\hat{h}/2$
角动量测不准 $\Delta P\Delta \varphi>=\hat{h}/2$

没有人比我更懂量子力学。

薛定谔波动方程

$\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(x,t)+U(x)\Psi(x,t)=j\hat{h}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$

一维非相对论薛定谔方程

$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi(x,t)=j\hat{h}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$

对波函数进行变量分离

$\Psi(r,t)=\psi(r)\varphi(t)$

时间部分为正弦波形式

$\varphi(t)=exp(-j\frac{E}{\hbar }t)=exp(-jwt)$ $E=\hbar w$

定态薛定谔方程（与时间无关）

$\frac{d\psi(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-U(x)]\psi(x)=0$

概率密度函数表示在给定时间和位置出现粒子的概率

波函数

$\Psi(r,t)=\psi(r)\varphi(t)=\psi(r)exp(-jwt)$

粒子在某时刻某位置出现的概率

$\Psi^2=\psi^2$

粒子的几率密度只与位置有关，与时间无关

边界条件

$\iiint_{-\infty}^{\infty}\Psi(r,t)\Psi^*(r,t)dxdydz=\iiint_{-\infty}^{\infty}|\psi(r,t)|^2dxdydz=1$

几率密度

$\psi(r)$有限、单值、连续

动量

$\nabla\psi(r)$有限、单值、连续
能量
$\nabla^2\psi(r)$有限

各种势场的薛定谔方程的参数往往由边界条件待定

薛定谔方程实例

自由空间中电子

当$U(x)=0$

$\frac{d\psi(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0$

波函数解为

$\psi(x)=Aexp[\frac{j}{\hbar}x\sqrt{2mE}]+Bexp[-\frac{j}{\hbar}x\sqrt{2mE}]$ $\varphi(t)=exp(-j\frac{E}{\hbar}t)=exp(-jwt)$ $\Psi(x,t)=Aexp[\frac{j}{\hbar}(x\sqrt{2mE}-Et)]+Bexp[-frac{j}{\hbar}(x\sqrt{2mE}+Et)]$

圆频率 $w=E/\hbar$
波数 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$
波长 $\lambda=h/\sqrt{2mE}$
动量 $p=h/\lambda=\sqrt{2mE}=\hbar k$

$\Psi(x,t)\approx 2\cos\{0.5[(dk)x-(dw)t]\}\sin(kx-wt)$

无限深势井

当$U(x)_1=0$,$U(x)_2=\infty$

区2

薛定谔方程
$\frac{d\psi(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi(x)=0$
波数
$k=\sqrt{2mE}/\hbar$
波函数 $\psi(x)=A_1\cos(kx)+A_2\sin(kx)$
区13
$\psi(x)=0$

根据边界条件
解得

$A_1=0$ $A_2=\sqrt{2/a}$ $k=n\pi/a=\sqrt{2mE}/\hbar$

分立能级 $E_n=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}n^2$

阶跃位函数

区1

$\psi(x)=A_1exp(jk_1x)+B_1exp(-jk_1x)$ $k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hat{h}^2}}$

区2

$\psi(x)=A_2\exp(-k_2x)+B_2exp(k_2x)$ $k_2=\sqrt{\frac{2m(U_0-E)}{\hat{h}^2}}$ $B_2=0$

根据边界条件解得

$B_1=\frac{k_2+jk_1}{jk_1-k_2}A_1$ $A_2=\frac{2jk_1}{jk_1-k_2}A_1$

反射率R=1

粒子有一定几率可以穿越II区，但最终都会掉头返回

势垒

区1 $\psi_1=A_1exp(jk_1x)+B_1exp(-jk_1x)\\ k_1=\sqrt{2mE}/\hbar$
区2 $\psi_2=A_2exp(jk_2x)+B_2exp(-jk_2x)\\ k_2=\sqrt{2m(U_0-E)}/\hbar$
区3 $\psi_3=A_3exp(jk_3x)+B_3exp(-jk_3x)\\ k_3=\sqrt{2mE}/\hbar$
透射率 $T\approx16(\frac{E}{U_0})(1-\frac{E}{U_0})exp(-2k_2a)$
反射率 $R=1-T$

低能量粒子能渗入
或贯穿高能势垒

原子的波动理论

单电子原子

质子和电子产生的位函数

$U(r)=\frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0r}$

电子的能量

将势函数代入薛定谔方程，并转化为球坐标下进行求解，分离变量可以得到电子的能量

$E_n=\frac{-m_0e^4}{(4\pi\epsilon_0)^22\hbar^2n^2}=-13.6eV$

电子质量 $9.1 \times 10^{-31}$
电子电荷量 $1.6 \times 10^{-19}$

电子的量子数

n 主量子数
n=1,2,3…
l 角量子数
l=n-1,n-2…0
m 磁量子数
|m|=l,l-1…0
s自旋量子数
s=1/2 $L=\sqrt{l(l+1)}\hbar \\ L_z=m\hbar \\ S=\sqrt{s(s+1)}\hbar=\sqrt{3}\hbar /2$